2020 年考研数学（三） 第 5 题

$A^{\ast }x=0$ 求通解 → 先用 $A^{\ast }A=|A|E=O$ 说明各列是解，再用 $r(A^{\ast })$ 公式定解空间维数，最后由非零余子式挑出无关的列。坑：$A_{12}$ 删的是第 1 行第 2 列，对应无关列是 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$（不含 ${\alpha }_2$）。

本题考查伴随矩阵的秩与齐次方程组基础解系。 $A$ 不可逆 $\Rightarrow |A|=0$，故 $A^{\ast }A=|A|E=O$，即 $A$ 的每个列向量 ${\alpha }_j$ 都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。

又 $A_{12}\ne 0\Rightarrow A^{\ast }$ 有非零元 $\Rightarrow r(A^{\ast })\ge 1$；$A$ 不可逆 $\Rightarrow r(A)\le 3$，而 $r(A)<3$ 时 $r(A^{\ast })=0$。故 $r(A)=3,r(A^{\ast })=1$，$A^{\ast }x=0$ 的解空间维数 $=4-1=3$。

$A_{12}\ne 0$ 说明删去第 1 行第 2 列后的 3 阶子式非零，即由第 $2,3,4$ 行的第 $1,3,4$ 列构成的子块可逆，从而列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，构成基础解系。

故通解 $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$，选 C。