2020 年考研数学（三） 第 4 题

缺项幂级数求收敛域 → 先定 $\sum a_n{x}^n$ 的半径 $R$（乘 $n$、逐项求导积分都不改变），再令 $t=(x+1{)}^2$ 解 $|t|<R$。坑：$(x+1{)}^{2n}$ 半径是 $\sqrt{R}$ 对应的 $x$ 范围，别照搬 $R$。

本题考查幂级数的收敛半径及其在逐项求导/积分、平移下的不变性。 $\sum n{a}_n(x-2{)}^n$ 收敛区间 $(-2,6)$ 关于中心 $2$，半径 $R=6-2=4$。

逐项求导/积分不改变收敛半径，故 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径也为 $4$。

$\sum a_n(x+1{)}^{2n}$ 是缺项级数：令 $s=(x+1{)}^2$，得 $\sum a_n{s}^n$，需 $|s|<4$，即 $(x+1{)}^2<4\Rightarrow |x+1|<2\Rightarrow -3<x<1$。收敛区间 $(-3,1)$，选 B。