2020 年考研数学（三） 第 3 题

变限积分定奇偶 → 先判被积函数奇偶：${\int }_0^x$（偶）=奇、${\int }_0^x$（奇）=偶。坑：$\cos f(x)$ 中 $f$ 奇仍得偶；注意区分 $\cos f(t)$ 与 $\cos f^{\prime }(t)$。

本题考查变限积分与奇偶性。 关键结论：奇函数的导数是偶函数；偶函数的原函数中，满足 $F(0)=0$ 的那个（即 ${\int }_0^x$）是奇函数。

$f$ 奇 $\Rightarrow \cos f(x)$ 偶（因 $\cos f(-x)=\cos [-f(x)]=\cos f(x)$），$f^{\prime }(x)$ 偶。故被积函数 $\cos f(t)+f^{\prime }(t)$ 是偶函数，其变限积分 ${\int }_0^x$ 且在 $0$ 处取值 0，是奇函数，A 正确。

选项 C、D 的被积函数为 $\cos f^{\prime }(t)+f(t)$＝偶＋奇，一般既非奇也非偶，可举 $f(x)=x$ 验证不成立。故选 A。