2020 年考研数学（三） 第 2 题

判间断点类型 → 逐点算左右极限，无穷/单侧不存在=第二类。坑：$x=0$ 处 $0/0$ 要用等价无穷小才看出是可去（第一类），别漏判；$x=1$ 处 ${\mathrm{e}}^{1/(x-1)}$ 左右极限不同。

本题考查间断点的判别。 使 $f$ 无定义的点为 $x=-1,0,1,2$，逐点算左右极限：无穷极限或单侧极限不存在的是第二类间断点。

$x=-1$：$\ln |1+x|\to -\infty$，其余因子有限非零，$f\to \infty$，第二类。$x=2$：分母 $x-2\to 0$、分子非零，$f\to \infty$，第二类。

$x=1$：$x\to 1^{+}$ 时 $\frac{1}{x-1}\to +\infty$，${\mathrm{e}}^{1/(x-1)}\to +\infty$，故 $f\to \infty$（右极限不存在），第二类。$x=0$：用 $\ln (1+x)\sim x,{\mathrm{e}}^x-1\sim x$，$f\to \frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{-2}$ 有限，是可去间断点（第一类）。

故第二类间断点为 $x=-1,1,2$ 共 3 个，选 C。