2020 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$\sin f(x)-\sin a$ 型差」且已知 $\frac{f(x)-a}{x-a}\to b$ → 用中值定理提出 $\cos {\xi }_x$。坑：直接拆成两因子相乘时分母 $f(x)-a$ 可能为 0，中值定理写法更稳妥。

本题考查极限运算，需把 $\sin f(x)-\sin a$ 与已知极限挂钩。 由 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-a}{x-a}=b$（有限）可知 $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-a]=0$，即 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=a$。

对 $\sin z$ 在 $f(x)$ 与 $a$ 之间用拉格朗日中值定理：$\sin f(x)-\sin a=\cos {\xi }_x[f(x)-a]$，其中 ${\xi }_x$ 介于 $f(x)$ 与 $a$ 之间。当 $x\to a$ 时 $f(x)\to a$，故 ${\xi }_x\to a$，$\cos {\xi }_x\to \cos a$。

于是 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\cos {\xi }_x\cdot \frac{f(x)-a}{x-a}=\cos a\cdot b=b\cos a$。故选 B。