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2020 年考研数学（三）第 7 题

选择题 · 4 分

设

A, B, C

为三个随机事件，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (A B) = 0

，

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12}

，则

A, B, C

中恰有一个事件发生的概率为（　　）

A $\frac{3}{4}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{5}{12}$

提示 1

先由

P (A B) = 0

推出

P (A B C) = 0

。

提示 2

用「恰有一个发生」公式

\sum P (A_{i}) - 2 \sum P (A_{i} A_{j}) + 3 P (A B C)

。

提示 3

代入数值算得

\frac{5}{12}

。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「恰有一个事件发生」→ 用公式

\sum P - 2 \sum P (两两) + 3 P (三)

。坑：

P (A B) = 0

立刻给出

P (A B C) = 0

；两两交的系数是

- 2

别写成

- 1

。

解答

本题考查事件概率的加减法运算。 由

P (A B) = 0

及

A B C \subset A B

得

P (A B C) = 0

。

恰有一个发生的概率公式：

P = P (A) + P (B) + P (C) - 2 [P (A B) + P (A C) + P (B C)] + 3 P (A B C)

。

代入：

P = 3 \cdot \frac{1}{4} - 2 (0 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}) + 0 = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}

。故选 D。

考点：概率的定义与性质、样本空间与随机事件

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