2020 年考研数学（三） 第 8 题

二维正态求「与 $X$ 独立且标准正态」的线性组合 → 先用协方差为 0 定方向（正态下不相关=独立），再用方差标准化定系数。坑：$D(X+Y)$ 要含 $2\mathrm{Cov}$ 项；$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

本题考查二维正态分布的性质与数字特征。 由参数知 $X\sim N(0,1),Y\sim N(0,4)$，${\rho }_{XY}=-\frac{1}{2}$，故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho \sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=-1$。

二维正态的线性组合仍为正态，且「不相关$\iff$独立」。要与 $X$ 独立，只需协方差为 0：$\mathrm{Cov}(X,X+Y)=D(X)+\mathrm{Cov}(X,Y)=1-1=0$（而 $\mathrm{Cov}(X,X-Y)=1+1=2\ne 0$），故取 $X+Y$。

再标准化：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+4-2=3$，$E(X+Y)=0$，故 $\frac{1}{\sqrt{3}}(X+Y)=\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)\sim N(0,1)$。选 C。