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2020 年考研数学（三）第 9 题

填空题 · 4 分

设

z = arctan [x y + sin (x + y)]

，则

d z_{(0, π)} =

______.

提示 1

z = arctan u

，先求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{u _{x}}{1 + u ^{2}}, \frac{u _{y}}{1 + u ^{2}}

。

提示 2

在

(0, π)

处

u = sin π = 0

，分母

1 + u^{2} = 1

。

提示 3

d z = z_{x} d x + z_{y} d y

。

答案与详解

答案 $(π - 1) d x - d y$

思路（为什么这么做）

求某点全微分 → 分别算两个偏导在该点的值，

d z = z_{x} d x + z_{y} d y

。坑：先代点求出

u = 0

能让

\frac{1}{1 + u ^{2}} = 1

，大幅简化。

解答

本题考查全微分的计算。 记

u = x y + sin (x + y)

，则

z = arctan u

，

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u _{x}}{1 + u ^{2}}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{u _{y}}{1 + u ^{2}}

，其中

u_{x} = y + cos (x + y), u_{y} = x + cos (x + y)

。

在

(0, π)

：

u = 0 \cdot π + sin π = 0

，故

1 + u^{2} = 1

；

u_{x} = π + cos π = π - 1

，

u_{y} = 0 + cos π = - 1

。

故

\frac{\partial z}{\partial x}_{(0, π)} = π - 1, \frac{\partial z}{\partial y}_{(0, π)} = - 1

，

d z_{(0, π)} = (π - 1) d x - d y

。

考点：全微分、多元复合函数求导法则

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