2020 年考研数学（三） 第 21 题

$P=(\alpha ,A\alpha )$ 型 → （Ⅰ）线性无关等价于 $\alpha$ 非特征向量；（Ⅱ）算 $AP=(A\alpha ,A^2\alpha )$ 并用给定关系表示 $A^2\alpha$，读出 $P^{-1}AP$。坑：两个相异特征值 $\Rightarrow$ 必可对角化。

本题考查可逆矩阵与相似对角化。（Ⅰ）设 $k_1\alpha +k_{2}A\alpha =0$。若 $k_2\ne 0$，则 $A\alpha =-\frac{k_1}{k_2}\alpha$，即 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，矛盾；故 $k_2=0$，又 $\alpha \ne 0$ 得 $k_1=0$。故 $\alpha ,A\alpha$ 线性无关，$P=(\alpha ,A\alpha )$ 可逆。

（Ⅱ）由 $A^2\alpha =6\alpha -A\alpha$，得 $AP=(A\alpha ,A^2\alpha )=(A\alpha ,6\alpha -A\alpha )=(\alpha ,A\alpha )\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$。左乘 $P^{-1}$ 得 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$。

记 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$，$A\sim B$。$B$ 的特征多项式 $|\lambda E-B|={\lambda }^2+\lambda -6=(\lambda -2)(\lambda +3)$，特征值 $2,-3$ 互异，故 $B$（从而 $A$）可对角化，$A$ 相似于 $\mathrm{diag}(2,-3)$。