2020 年考研数学（三） 第 22 题

上半圆盘均匀 + 直线分区 → 概率＝扇形张角/$\pi$；0-1 变量方差 $=p(1-p)$。坑：$Z_1=1$ 需 $X>Y$ 落在 $y=x$ 右下，注意 $Z_1=1,Z_2=0$ 交为空得概率 0。

本题考查均匀分布（几何概型）与二维离散分布及相关系数。 $D$ 是半径 1 的上半圆盘，面积 $\frac{\pi }{2}$，密度为 $\frac{2}{\pi }$。直线 $y=x$（定 $Z_1$）、$y=-x$（定 $Z_2$）把上半圆盘按扇形分块，每块概率＝其面积$/\frac{\pi }{2}$＝张角$/\pi$。

$Z_1=1\iff X>Y$（$y=x$ 右下，张角 $\pi /4$）；$Z_2=1\iff X>-Y$（$y=-x$ 右侧，张角 $3\pi /4$）。据此：$P(1,1)=\frac{\pi /4}{\pi }=\frac{1}{4}$，$P(1,0)=0$，$P(0,1)=\frac{\pi /2}{\pi }=\frac{1}{2}$，$P(0,0)=\frac{\pi /4}{\pi }=\frac{1}{4}$。

（Ⅱ）边缘：$E(Z_1)=P(Z_1=1)=\frac{1}{4},E(Z_2)=\frac{3}{4}$，$E(Z_1{Z}_2)=P(1,1)=\frac{1}{4}$。$D(Z_1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$，$D(Z_2)=\frac{3}{4}-\frac{9}{16}=\frac{3}{16}$。

$\mathrm{Cov}(Z_1,Z_2)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{16}$，故 ${\rho }_{Z_1{Z}_2}=\frac{1/16}{\sqrt{(3/16)(3/16)}}=\frac{1/16}{3/16}=\frac{1}{3}$。