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2020 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {1 - e^{- (t / θ)^{m}}, 0, t \geq 0 其他

其中

θ, m

为参数且均大于零.（Ⅰ）求概率

P {T > t}

与

P {T > s + t ∣ T > s}

，其中

s > 0, t > 0

；（Ⅱ）任取

n

个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

. 若

m

已知，求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

提示 1

（Ⅰ）

P {T > t} = 1 - F (t)

；条件概率用

\frac{P { T > s + t }}{P { T > s }}

。

提示 2

（Ⅱ）先求密度

f = F^{'}

，写出似然

L (θ) = \prod f (t_{i}; θ)

。

提示 3

取对数、对

θ

求导令 0，解出

θ^{m} = \frac{1}{n} \sum t_{i}^{m}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $P {T > t} = e^{- (t / θ)^{m}}$ ， $P {T > s + t ∣ T > s} = e^{\frac{s ^{m} - ( s + t ) ^{m}}{θ ^{m}}}$ ；（Ⅱ） $\hat{θ} = (\frac{1}{n} i = 1 \sum n t_{i}^{m})^{1/ m}$

思路（为什么这么做）

给分布函数求 MLE → 先

f = F^{'}

，再

ln L

对参数求导。坑：这是韦伯（Weibull）分布，不是指数分布，没有无记忆性，第（Ⅰ）问条件概率必须老实算，不能写成

P {T > t}

。

解答

本题考查分布函数、条件概率与最大似然估计。（Ⅰ）

P {T > t} = 1 - F (t) = e^{- (t / θ)^{m}}

。由条件概率

P {T > s + t ∣ T > s} = \frac{P { T > s + t }}{P { T > s }} = \frac{e ^{- ((s + t) / θ)^{m}}}{e ^{- (s / θ)^{m}}} = e^{\frac{s ^{m} - ( s + t ) ^{m}}{θ ^{m}}}

。

（Ⅱ）密度

f (t; θ) = F^{'} (t) = \frac{m}{θ ^{m}} t^{m - 1} e^{- (t / θ)^{m}} (t > 0)

。似然函数

L (θ) = (\frac{m}{θ ^{m}})^{n} (\prod_{i} t_{i}^{m - 1}) e^{- \frac{1}{θ ^{m}} \sum_{i} t_{i}^{m}}

。

ln L = n ln m - nm ln θ + (m - 1) \sum_{i} ln t_{i} - \frac{1}{θ ^{m}} \sum_{i} t_{i}^{m}

。令

\frac{d ln L}{d θ} = - \frac{nm}{θ} + \frac{m}{θ ^{m + 1}} \sum_{i} t_{i}^{m} = 0

，得

θ^{m} = \frac{1}{n} \sum_{i} t_{i}^{m}

。

故

\hat{θ} = (\frac{1}{n} i = 1 \sum n t_{i}^{m})^{1/ m}

。

考点：最大似然估计、随机变量与分布函数、条件概率与乘法公式

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