2020 年考研数学（三） 第 20 题

「$f$ 经正交变换化为 $g$，求 $Q$」→ 先用 $A\sim B$（迹、行列式）定参数，再把 $A,B$ 各自正交对角化到同一对角阵，$Q=P_1{P}_2^{-1}$。坑：特征向量已两两正交时无需再施密特；$Q$ 不唯一。

本题考查正交变换与实对称矩阵的正交相似对角化。（Ⅰ）$f,g$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 2& b\end{array}\right)$。正交变换是相似变换，$A\sim B$，故迹与行列式相等：$a+b=5,ab=4$。由 $a\ge b$ 得 $a=4,b=1$。

（Ⅱ）$A,B$ 特征值同为 $5,0$。对 $A$：$\lambda =5$ 得特征向量 $(-1,2{)}^{\mathrm{T}}$，$\lambda =0$ 得 $(2,1{)}^{\mathrm{T}}$，取 $P_1=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 使 $P_1^{-1}A{P}_1=\mathrm{diag}(5,0)$。

对 $B$：$\lambda =5$ 得 $(2,1{)}^{\mathrm{T}}$，$\lambda =0$ 得 $(-1,2{)}^{\mathrm{T}}$，取 $P_2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 使 $P_2^{-1}B{P}_2=\mathrm{diag}(5,0)$。

由 $B=P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}$ 取 $Q=P_1{P}_2^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{4}{5}& \frac{3}{5}\\ \frac{3}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right)$，它已是正交矩阵，满足 $Q^{-1}AQ=B$。