2020 年考研数学（三） 第 19 题

「导数下界 $\ge M$」型 → 在最值点两侧各用一次拉格朗日中值定理，取较短区间。坑：（Ⅱ）的矛盾来自 $f^{\prime }$ 连续（否则 $f^{\prime }$ 会在 $x=1$ 处 $+M$ 跳到 $-M$）。

本题考查拉格朗日中值定理与定积分性质。（Ⅰ）若 $M=0$ 则 $f\equiv 0$，任取 $\xi$ 即可。设 $M>0$，则 $|f(c)|=M$ 在某 $c\in (0,2)$ 取得（因 $f(0)=f(2)=0$）。

在 $[0,c]$、$[c,2]$ 上分别用拉格朗日中值定理：存在 ${\xi }_1\in (0,c),{\xi }_2\in (c,2)$，使 $|f^{\prime }({\xi }_1)|=\frac{|f(c)|}{c}=\frac{M}{c},|f^{\prime }({\xi }_2)|=\frac{M}{2-c}$。由 $c\in (0,2)$，$c$ 与 $2-c$ 中至少一个 $\le 1$，对应的导数值 $\ge M$。故存在 $\xi$ 使 $|f^{\prime }(\xi )|\ge M$。

（Ⅱ）反设 $M>0$。由（Ⅰ）：若 $c\ne 1$，则 $\frac{M}{c}>M$ 或 $\frac{M}{2-c}>M$，与 $|f^{\prime }|\le M$ 矛盾，故只能 $c=1$，即 $|f(1)|=M$。

由 $M=|f(1)|=\left|{\int }_0^1{f}^{\prime }\mathrm{d}x\right|\le {\int }_0^1|f^{\prime }|\mathrm{d}x\le M$，等号成立要求在 $(0,1)$ 上 $|f^{\prime }|\equiv M$；同理 $(1,2)$ 上 $|f^{\prime }|\equiv M$。若 $f^{\prime }$ 不变号则 $f$ 单调，与 $f(0)=f(2)=0$ 矛盾；若 $f^{\prime }$ 在 $x=1$ 两侧变号则 $f^{\prime }$ 在 $x=1$ 不连续，与 $f^{\prime }$ 连续矛盾。故 $M=0$。