2020 年考研数学（三） 第 18 题

积分方程 $f=(\cdots )+x{\iint }_{D}f$ → 令 ${\iint }_{D}f=A$ 为常数，回代两端积分解 $A$。坑：反复利用「上半圆盘对 $y$ 轴对称 $\Rightarrow$ 奇 $x$ 积分为 0」；${\iint }_D{x}^2$ 极坐标 $\theta \in [0,\pi ]$。

本题考查二重积分（含未知常数）与对称性。 记 $A={\iint }_{D}f\mathrm{d}x\mathrm{d}y$（常数），则 $f=y\sqrt{1-x^2}+Ax$。两端在 $D$ 上积分：$A={\iint }_{D}y\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+A{\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

$D$ 是上半圆盘，关于 $y$ 轴对称，$x$ 为奇函数 $\Rightarrow {\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$；而 ${\iint }_{D}y\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\left({\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}y\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(1-x^2{)}^{3/2}\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{16}$。故 $A=\frac{3\pi }{16}$，$f=y\sqrt{1-x^2}+\frac{3\pi }{16}x$。

于是 ${\iint }_{D}xf\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}xy\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\frac{3\pi }{16}{\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。第一项被积函数关于 $x$ 为奇 $\Rightarrow =0$；第二项用极坐标 ${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^3\mathrm{d}r=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}$。

故结果 $=\frac{3\pi }{16}\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{3{\pi }^2}{128}$。