2020 年考研数学（三） 第 17 题

含 ${\int }_{n\pi }^{\infty }f$ 且 $f$ 满足常系数方程 → 用方程把 $f$ 换成 $-\frac{1}{5}(f^{\prime \prime }+2f^{\prime })$，积分立刻出原函数 $f^{\prime }+2f$，免去繁琐分部。坑：验证 $x\to \infty$ 时 $f,f^{\prime }\to 0$（衰减因子 ${\mathrm{e}}^{-x}$）。

本题综合考查二阶常系数齐次方程、反常积分与级数。（Ⅰ）特征方程 $r^2+2r+5=0$，根 $r=-1\pm 2i$，通解 $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$。由 $f(0)=C_1=1$，$f^{\prime }(0)=-C_1+2C_2=-1\Rightarrow C_2=0$，故 $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}\cos 2x$。

（Ⅱ）由方程 $f=-\frac{1}{5}(f^{\prime \prime }+2f^{\prime })$，故 $a_n={\int }_{n\pi }^{+\infty }f\mathrm{d}x=-\frac{1}{5}[f^{\prime }(x)+2f(x){]}_{n\pi }^{+\infty }$。因 $x\to +\infty$ 时 $f,f^{\prime }\to 0$，且 $f(n\pi )={\mathrm{e}}^{-n\pi },f^{\prime }(n\pi )=-{\mathrm{e}}^{-n\pi }$，得 $a_n=\frac{1}{5}[f^{\prime }(n\pi )+2f(n\pi )]=\frac{1}{5}{\mathrm{e}}^{-n\pi }$。

故 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{1}{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-n\pi }=\frac{1}{5}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-\pi }}{1-{\mathrm{e}}^{-\pi }}=\frac{1}{5({\mathrm{e}}^{\pi }-1)}$。