2020 年考研数学（三） 第 16 题

二元极值 → 先解方程组求驻点，再用 $AC-B^2$（$A=f_{xx}$）判别。坑：$AC-B^2<0$ 是鞍点（不是极值），一定要逐个驻点判别，别只算一个。

本题考查二元函数极值的充分条件。 求驻点：$f_x=3x^2-y=0,f_y=24y^2-x=0$。由第一式 $y=3x^2$ 代入第二式得 $216x^4=x$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{6}$，对应驻点 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$。

二阶偏导：$f_{xx}=6x,f_{xy}=-1,f_{yy}=48y$。记 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$。

在 $(0,0)$：$A=0,B=-1,C=0$，$AC-B^2=-1<0$，非极值点（鞍点）。在 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$：$A=1,B=-1,C=4$，$AC-B^2=3>0$ 且 $A>0$，为极小值点。

极小值 $f\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{216}+8\cdot \frac{1}{1728}-\frac{1}{72}=-\frac{1}{216}$。