2020 年考研数学（三） 第 15 题

求「$\sim \frac{b}{n^a}$」的 $a,b$ → 把 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 写成 ${\mathrm{e}}^{n\ln (1+1/n)}$ 做两层泰勒展开，取最低次项。坑：外层 ${\mathrm{e}}^{(\cdots )}$ 也要展开；最低阶是 $\frac{1}{n}$ 而非 $\frac{1}{n^2}$。

本题考查等价无穷小的定义与泰勒展开定阶。 记 $t=\frac{1}{n}\to 0^{+}$。由 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n={\mathrm{e}}^{n\ln (1+1/n)}$，先展开指数：$n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\cdots$。

于是 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\mathrm{e}\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\cdots }=\mathrm{e}\left(1-\frac{1}{2n}+\cdots \right)$，故 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n-\mathrm{e}=\mathrm{e}\left(-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\sim -\frac{\mathrm{e}}{2}\cdot \frac{1}{n}$。

要与 $\frac{b}{n^a}$ 等价，须最低阶同为 $\frac{1}{n}$ 且系数相等：$a=1,b=-\frac{\mathrm{e}}{2}$。