2020 年考研数学（三） 第 14 题

$Y=g(X)$ 的期望 → 先按 $Y$ 的取值把 $X$ 归类，用等比级数求各 $P\{Y=y\}$，再 $\sum yP$。坑：$X=3i+3$ 对应余数 0（不是 $3i$，因 $k$ 从 1 起）。

本题考查随机变量函数的期望。 $Y=X\mathrm{mod}3\in \{0,1,2\}$，分别对应 $X=3i+3,3i+1,3i+2(i=0,1,2,\cdots )$。用等比级数 ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{8^i}=\frac{1}{1-1/8}=\frac{8}{7}$。

$P\{Y=0\}={\sum }_{i\ge 0}\frac{1}{2^{3i+3}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{7}=\frac{1}{7}$；$P\{Y=1\}={\sum }_{i\ge 0}\frac{1}{2^{3i+1}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{7}=\frac{4}{7}$；$P\{Y=2\}={\sum }_{i\ge 0}\frac{1}{2^{3i+2}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{7}=\frac{2}{7}$。

$E(Y)=0\cdot \frac{1}{7}+1\cdot \frac{4}{7}+2\cdot \frac{2}{7}=\frac{4+4}{7}=\frac{8}{7}$。