2019 年考研数学（三） 第 9 题

内层裂项和、外层幂指 → 先化简底数为 $\frac{n}{n+1}$，识别 $1^{\infty }$ 型套 $e$。坑：指数是 $n$ 不是 $n+1$，配平后极限为 $e^{-1}$。

本题考查裂项求和与 $1^{\infty }$ 型极限。 先裂项：$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，故括号内 $=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。

于是原式 $=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}^{-(n+1)}\right]}^{-\frac{n}{n+1}}=e^{-1}$。