2019 年考研数学（三） 第 10 题

求拐点 → $y^{\prime \prime }=0$ 或不存在的点，再验「两侧 $y^{\prime \prime }$ 变号」。坑：$x=0$ 处 $y^{\prime \prime }=-x\sin x\sim -x^2$ 恒负不变号，是易错的假拐点。

本题考查拐点的求法（$y^{\prime \prime }$ 变号点）。 $y^{\prime }=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x$，$y^{\prime \prime }=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x$。

令 $y^{\prime \prime }=-x\sin x=0$，在区间内得 $x=0$ 与 $x=\pi$。

$x=0$ 两侧 $y^{\prime \prime }<0$（$-x\sin x\approx -x^2$）不变号，非拐点；$x=\pi$ 处 $y^{\prime \prime }$ 由负变正，是拐点。$y(\pi )=\pi \sin \pi +2\cos \pi =-2$，故拐点为 $(\pi ,-2)$。