2019 年考研数学（三） 第 11 题

被积含「变上限积分函数」→ 分部让它求导（$f^{\prime }$ 简单），边界 $f(1)=0$ 常使首项为零。坑：余项 $\int x^3\sqrt{1+x^4}$ 用凑微分而非硬算。

本题考查变上限积分与分部积分。 注意 $f(1)=0$，$f^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^4}$。用分部：${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)d\left(\frac{x^3}{3}\right)={\left[\frac{x^3}{3}f(x)\right]}_0^1-\frac{1}{3}{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^4}dx$。

首项 $=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot f(1)-0=0$。余项凑微分：$\frac{1}{3}{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^4}dx=\frac{1}{12}{\int }_0^1\sqrt{1+x^4}d(1+x^4)=\frac{1}{12}\cdot \frac{2}{3}(1+x^4{)}^{3/2}{|}_0^1$。

故原式 $=-\frac{1}{12}\cdot \frac{2}{3}\left(2^{3/2}-1\right)=\frac{1-2\sqrt{2}}{18}$。