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2019 年考研数学（三）第 12 题

填空题 · 4 分

以

P_{A}, P_{B}

分别表示 A、B 两个商品的价格，设商品 A 的需求函数

Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - P_{A} P_{B} + 2 P_{B}^{2}

，则当

P_{A} = 10, P_{B} = 20

时，商品 A 的需求量对自身价格的弹性

η_{AA} (η_{AA} > 0) =

提示 1

弹性公式

η_{AA} = - \frac{P _{A}}{Q _{A}} \cdot \frac{\partial Q _{A}}{\partial P _{A}}

（负号保证为正）。

提示 2

对

P_{A}

求偏导

- 2 P_{A} - P_{B}

，代入得

- 40

。

提示 3

算出

Q_{A} = 1000

，代入即得

0.4

。

答案与详解

答案 $\frac{2}{5}$

思路（为什么这么做）

「需求对价格的弹性」→

η = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}

；多元时用偏导。坑：题目要

η_{AA} > 0

，务必带负号；

Q_{A}

要代入具体价格算出数值。

解答

本题考查需求弹性（经济应用）。 需求对自身价格的弹性

η_{AA} = - \frac{P _{A}}{Q _{A}} \cdot \frac{\partial Q _{A}}{\partial P _{A}}

（加负号使其为正）。

\frac{\partial Q _{A}}{\partial P _{A}} = - 2 P_{A} - P_{B}

，在

(10, 20)

处

= - 40

；

Q_{A} = 500 - 100 - 200 + 800 = 1000

。

故

η_{AA} = - \frac{10}{1000} \cdot (- 40) = \frac{400}{1000} = \frac{2}{5} = 0.4

。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、偏导数

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