2019 年考研数学（三） 第 13 题

非齐次「无穷多解」→ $|A|=0$ 选出候选，再对增广矩阵消元验 $r(A)=r(\bar{A})$。坑：$a=\pm 1$ 都使 $|A|=0$，但 $a=-1$ 不相容（无解），必须逐一验证。

本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的条件 $r(A)=r(\bar{A})<n$。 有无穷多解首先要求 $|A|=0$。计算 $|A|=a^2-1$，故 $a=\pm 1$。

对增广矩阵消元：$\bar{A}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& a^2-1& a-1\end{array}\right)$。

$a=1$：末行全零，$r(A)=r(\bar{A})=2<3$，有无穷多解；$a=-1$：末行为 $(0,0,0\mid -2)$，$r(A)\ne r(\bar{A})$，无解。故 $a=1$。