2019 年考研数学（三） 第 14 题

遇 $P\{F(X)>c\}$ → 妙用「连续型 $F(X)\sim U(0,1)$」秒得 $1-c$；或把 $F(X)>c$ 反解成 $X$ 的区间再积分。坑：先算清 $E(X)$ 得到常数 $c=\frac{1}{3}$。

本题考查分布函数、期望与概率计算。 $E(X)={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{4}{3}$，故 $E(X)-1=\frac{1}{3}$。

分布函数：$0\le x<2$ 时 $F(x)={\int }_0^x\frac{t}{2}dt=\frac{x^2}{4}$。所求 $P\{F(X)>\frac{1}{3}\}=P\{\frac{X^2}{4}>\frac{1}{3}\}=P\{X>\frac{2}{\sqrt{3}}\}$。

$P\{X>\frac{2}{\sqrt{3}}\}={\int }_{2/\sqrt{3}}^2\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4}{|}_{2/\sqrt{3}}^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。（也可用「连续型 $F(X)\sim U(0,1)$」直接得 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。）