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2019 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 10 分

已知函数

f (x) = {x^{2 x}, x e^{x} + 1, x > 0 x \leq 0

，求

f^{'} (x)

，并求

f (x)

的极值.

提示 1

x > 0

段是幂指函数，写成

e^{2 x l n x}

再求导。

提示 2

x = 0

是分界点，用导数定义验右侧可导性（结果为

- \infty

，不可导）。

提示 3

列出所有驻点与不可导点，用

f^{'}

符号表判极值。

答案与详解

答案 $f^{'} (x) = {x^{2 x} (2 ln x + 2), (x + 1) e^{x}, x > 0 x < 0$ （ $x = 0$ 处不可导）；极小值 $f (- 1) = 1 - \frac{1}{e}$ ，极大值 $f (0) = 1$ ，极小值 $f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e})^{2/ e}$

思路（为什么这么做）

分段函数求极值 → 分段求导 + 在分界点用定义验可导性；不可导点也可能是极值点。坑：

x^{2 x}

必须化

e^{2 x l n x}

；

x = 0

右导数为

- \infty

不可导，但仍是极大值点。

解答

本题考查分段函数求导（含幂指函数、可导性判断）与极值。

x > 0

：

f (x) = x^{2 x} = e^{2 x l n x}

，

f^{'} (x) = x^{2 x} (2 ln x + 2)

；

x < 0

：

f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}

。

在

x = 0

处：

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{e ^{2 x l n x} - 1}{x} = x \to 0^{+} lim 2 ln x = - \infty

，故

f

在

x = 0

不可导。

驻点与不可导点为

x = - 1

（

f^{'} = 0

）、

x = 0

、

x = \frac{1}{e}

（

2 ln x + 2 = 0

）。符号：

x < - 1

时

f^{'} < 0

，

- 1 < x < 0

时

f^{'} > 0

，

0 < x < \frac{1}{e}

时

f^{'} < 0

，

x > \frac{1}{e}

时

f^{'} > 0

。

故

x = - 1

取极小值

f (- 1) = 1 - \frac{1}{e}

；

x = 0

取极大值

f (0) = 1

；

x = \frac{1}{e}

取极小值

f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e})^{2/ e}

。

考点：函数的单调性与极值、求导法则（四则、复合、反函数）、导数与微分的概念

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