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2019 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 10 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，函数

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y)

. 求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}}

.

提示 1

设中间变量

u = x + y, v = x - y

，先求一阶偏导

g_{x}, g_{y}

。

提示 2

对

f_{1}, f_{2}

再求偏导时记得乘

u, v

对

x, y

的导数（

v_{y} = - 1

）。

提示 3

利用

f_{12} = f_{21}

（二阶连续）合并同类项。

答案与详解

答案 $1 - 3 f_{11}^{''} - f_{22}^{''}$

思路（为什么这么做）

多元复合二阶偏导 → 先写内层变量的偏导

u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}

，逐步链式；混合偏导用

f_{12} = f_{21}

合并。坑：

v = x - y

对

y

求导得

- 1

，符号最易错。

解答

本题考查多元复合函数的二阶偏导（链式法则）。 记

u = x + y, v = x - y

，并记

f_{1} = f_{u}^{'}, f_{2} = f_{v}^{'}

。一阶：

g_{x} = y - f_{1} - f_{2}

，

g_{y} = x - f_{1} + f_{2}

。

二阶（注意

u_{x} = u_{y} = v_{x} = 1, v_{y} = - 1

，且

f_{12} = f_{21}

）：

g_{xx} = - f_{11}^{''} - 2 f_{12}^{''} - f_{22}^{''}

，

g_{x y} = 1 - f_{11}^{''} + f_{22}^{''}

，

g_{y y} = - f_{11}^{''} + 2 f_{12}^{''} - f_{22}^{''}

。

三者相加，

f_{12}^{''}

项相消：

g_{xx} + g_{x y} + g_{y y} = 1 - 3 f_{11}^{''} - f_{22}^{''}

。

考点：多元复合函数求导法则、偏导数、高阶导数

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