2019 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 x} e^{x^{2} /2}

满足条件

y (1) = e

的特解.
（Ⅰ）求

y (x)

；
（Ⅱ）设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq y (x)}

，求

D

绕

x

轴旋转所得旋转体的体积.

提示 1

一阶线性方程用积分因子

e^{- \int x d x} = e^{- x^{2} /2}

。

提示 2

积分时

e^{x^{2} /2} \cdot e^{- x^{2} /2} = 1

，化简后

\int \frac{1}{2 x} d x = x

。

提示 3

旋转体体积

V = π \int_{1}^{2} y^{2} d x

，

y^{2} = x e^{x^{2}}

凑微分

d (x^{2})

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $y (x) = x e^{x^{2} /2}$ ；（Ⅱ） $V = \frac{π}{2} (e^{4} - e)$

思路（为什么这么做）

一阶线性

y^{'} + P (x) y = Q (x)

→ 积分因子公式；本题

e^{\pm x^{2} /2}

正好抵消是设计好的。旋体体积用

π \int y^{2} d x

，

x e^{x^{2}}

凑

d (x^{2})

。坑：别忘用初值

y (1) = e

定

C

。

解答

本题考查一阶线性微分方程与旋转体体积。（Ⅰ）方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 x} e^{x^{2} /2}

，积分因子

e^{- \int x d x} = e^{- x^{2} /2}

。

通解

y = e^{x^{2} /2} (\int \frac{1}{2 x} e^{x^{2} /2} \cdot e^{- x^{2} /2} d x + C) = e^{x^{2} /2} (x + C)

。由

y (1) = e

得

C = 0

，故

y (x) = x e^{x^{2} /2}

。

（Ⅱ）

V = \int_{1}^{2} π y^{2} d x = π \int_{1}^{2} x e^{x^{2}} d x = \frac{π}{2} e^{x^{2}}_{1}^{2} = \frac{π}{2} (e^{4} - e)

。

2019 年考研数学（三） 第 17 题