2019 年考研数学（三） 第 18 题

无穷区间上「与 $x$ 轴围面积」→ ${\int }_0^{\infty }|f|dx$，按半周期分段成等比级数再求和。坑：一定取绝对值（否则正负抵消）；$\int e^{-x}\sin x$ 用两次分部或记公式。

本题考查反常积分（无穷区间）、面积与几何级数求和。 曲线在每个 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上与 $x$ 轴围成的面积需取绝对值，故 $A={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}|\sin x|dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }{e}^{-x}|\sin x|dx$。

由 $\int e^{-x}\sin xdx=-\frac{1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$，第 $k$ 段积分取绝对值得 $\frac{1}{2}\left(e^{-k\pi }+e^{-(k+1)\pi }\right)$。

求和（等比级数）：$A=\frac{1}{2}\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }{e}^{-k\pi }\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2e^{-\pi }}{1-e^{-\pi }}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}$。