2019 年考研数学（三） 第 8 题

独立正态的和/差 → 直接 $N({\mu }_1\pm {\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$（方差永远相加）。坑：均值相减为 $0$ 消掉 $\mu$，但方差 $2{\sigma }^2$ 保留 $\sigma$。

本题考查独立正态变量线性组合的分布（正态可加性）。 $X-Y$ 仍服从正态，$E(X-Y)=\mu -\mu =0$，$D(X-Y)={\sigma }^2+{\sigma }^2=2{\sigma }^2$，即 $X-Y\sim N(0,2{\sigma }^2)$。

故 $P\{|X-Y|<1\}=P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }<\frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma }<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right\}=2\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right)-1$。

该值只依赖 ${\sigma }^2$，与 $\mu$ 无关。选 A。