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2019 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 4 分

设

A

是

4

阶矩阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，若线性方程组

A x = 0

的基础解系中只有

2

个向量，则

r (A^{*}) =

（　　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

提示 1

基础解系

2

个向量

\Rightarrow

n - r (A) = 2

\Rightarrow

r (A) = 2

。

提示 2

回忆

r (A^{*})

三段公式（按

r (A)

与

n, n - 1

比较）。

提示 3

r (A) = 2 < 3

落在「

< n - 1

」情形，

r (A^{*}) = 0

。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

伴随矩阵求秩 → 三段公式：

r (A) = n

→

n

；

= n - 1

→

1

；

< n - 1

→

0

。坑：先用「基础解系个数

= n - r (A)

」定出

r (A)

。

解答

本题考查伴随矩阵秩的公式。

A x = 0

的基础解系含

2

个向量，即

n - r (A) = 2

，故

r (A) = 4 - 2 = 2

。

伴随矩阵秩的规律：

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ n, 1, 0, r (A) = n r (A) = n - 1 r (A) < n - 1

此处

r (A) = 2 < 4 - 1 = 3

，落在「

< n - 1

」情形，故

r (A^{*}) = 0

。选 A。

考点：伴随矩阵、矩阵的秩、齐次线性方程组与基础解系

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