2019 年考研数学（三） 第 6 题

实对称矩阵给「矩阵多项式方程」→ 特征值满足同一代数方程；再用 $|A|$（积）或迹（和）锁定具体值。规范形只看正负号个数。坑：$1,-2,-2$ 是唯一满足积 $=4$ 的组合。

本题考查由矩阵方程定特征值，再写二次型规范形。 设 $Ax=\lambda x(x\ne 0)$，由 $A^2+A=2E$ 得 $({\lambda }^2+\lambda -2)x=0$，故 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，$\lambda =1$ 或 $\lambda =-2$。

$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=4$。三个特征值取自 $\{1,-2\}$ 且乘积为 $4$，只能是 $1,-2,-2$（因 $1\cdot (-2)\cdot (-2)=4$）。

正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=2$，故规范形为 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$。选 C。