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2019 年考研数学（三）第 4 题

选择题 · 4 分

若

n = 1 \sum \infty n u_{n}

绝对收敛，

n = 1 \sum \infty \frac{v _{n}}{n}

条件收敛，则（　　）

A $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 条件收敛
B $n = 1 \sum \infty u_{n} v_{n}$ 绝对收敛
C $\sum (u_{n} + v_{n})$ 收敛
D $\sum (u_{n} + v_{n})$ 发散

提示 1

把

u_{n} v_{n}

拆成

\frac{v _{n}}{n} \cdot (n u_{n})

。

提示 2

\sum \frac{v _{n}}{n}

收敛

\Rightarrow

\frac{v _{n}}{n}

有界；

\sum n u_{n}

绝对收敛

\Rightarrow

\sum ∣ n u_{n} ∣

收敛。

提示 3

用比较审敛法

∣ u_{n} v_{n} ∣ \leq M ∣ n u_{n} ∣

得绝对收敛。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

组合级数判敛 → 把通项拆成「有界因子 × 绝对收敛项」再用比较法。坑：C/D 需要

\sum u_{n}, \sum v_{n}

单独收敛，信息不够，直接排除。

解答

本题考查绝对收敛/条件收敛的判别，核心是比较审敛法。 因

\sum \frac{v _{n}}{n}

收敛，其通项

\frac{v _{n}}{n} \to 0

，从而

\frac{v _{n}}{n} \leq M

有界。

于是

0 \leq ∣ u_{n} v_{n} ∣ = \frac{v _{n}}{n} \cdot ∣ n u_{n} ∣ \leq M ∣ n u_{n} ∣

。因

\sum n u_{n}

绝对收敛即

\sum ∣ n u_{n} ∣

收敛，由正项级数比较审敛法得

\sum ∣ u_{n} v_{n} ∣

收敛。

故

\sum u_{n} v_{n}

绝对收敛，选 B。（C、D 涉及

\sum u_{n}, \sum v_{n}

各自的收敛性，条件不足以判定，排除）

考点：正项级数的判别法、交错级数与绝对/条件收敛、常数项级数的概念与性质

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