2019 年考研数学（三） 第 3 题

「已知通解求 $a,b,c$」→ 齐次解读特征根（定 $a,b$），特解代回原方程（定 $c$）。坑：$(C_1+C_{2}x)e^{-x}$ 是二重根 $-1$，不是两个不同根。

本题考查二阶常系数线性微分方程「由通解反求系数」。 齐次解 $(C_1+C_{2}x)e^{-x}$ 表明特征方程 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ 有二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$。

由 $(\lambda +1{)}^2={\lambda }^2+2\lambda +1$ 知 $a=2,b=1$。

特解 $y^{\ast }=e^x$ 代入 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=c{e}^x$：$e^x+2e^x+e^x=4e^x=c{e}^x$，故 $c=4$。选 D。