2019 年考研数学（三） 第 2 题

「方程有几个实根」→ 转化为函数图像与 $x$ 轴交点：求极值，用极大/极小值符号卡根数。坑：$3$ 个不同根要求两极值严格异号（取等号只有 $2$ 个根）。

本题考查用导数分析方程实根个数。 令 $f(x)=x^5-5x+k$，$f^{\prime }(x)=5x^4-5=5(x^2+1)(x^2-1)$，零点 $x=\pm 1$。

$f$ 在 $x=-1$ 取极大值 $f(-1)=4+k$，在 $x=1$ 取极小值 $f(1)=k-4$；又 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$。

连续函数有 $3$ 个不同实根 $⟺$ 极大值 $>0$ 且极小值 $<0$，即 $4+k>0$ 且 $k-4<0$，得 $-4<k<4$。故选 D。