2019 年考研数学（三） 第 1 题

看到「函数减其线性主部」的差求阶 → 泰勒展开。$\tan x$ 三次项系数 $\frac{1}{3}$ 必背；相减后 $x$ 抵消，最低次落在 $x^3$。坑：$\tan x$ 至少展开到 $x^3$，否则看不出阶数。

本题考查无穷小阶的比较。 「$x-\tan x$ 与 $x^k$ 同阶」即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^k}$ 为非零常数，只需求出 $x-\tan x$ 的最低次幂。

由麦克劳林展开 $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$，得 $x-\tan x=-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)(x\to 0)$，最低次为 $x^3$，故 $k=3$。

也可用洛必达验证：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\sec }^{2}x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-{\tan }^{2}x}{3x^2}=-\frac{1}{3}\ne 0$，说明是 $3$ 阶无穷小。故选 C。