2019 年考研数学（三） 第 21 题

$A\sim B$ 求过渡矩阵 → 各自对角化到同一 $\Lambda$，则 $P=P_1{P}_2^{-1}$。坑：$B$ 非对角，必须也求它的特征向量（不能直接令 $P_2=E$）；先用迹与行列式定参数。

本题考查相似矩阵性质与用「同一对角化」构造过渡矩阵。（Ⅰ）相似矩阵迹相等、行列式相等：$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B\Rightarrow x-4=y+1$；$|A|=|B|\Rightarrow -2(-2x+4)=-2y$。联立解得 $x=3,y=-2$。

（Ⅱ）此时 $A,B$ 的特征值同为 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=2$。求 $A$ 的特征向量得 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 2& 1& 2\\ 4& 0& 0\end{array}\right)$，使 $P_1^{-1}A{P}_1=\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。

求 $B$ 的特征向量得 $P_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$，使 $P_2^{-1}B{P}_2=\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 得 $P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 2& 1& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$，满足 $P^{-1}AP=B$。