2019 年考研数学（三） 第 20 题

「向量组等价」→ 三秩相等判据 $r(\text{I})=r(\text{II})=r(\text{I},\text{II})$；含参数按行列式零点分类讨论。坑：$a=-1$ 使 $\alpha$ 组降秩但两组不等价（合并秩变大），必须舍；$a=1$ 时表示不唯一带自由参数。

本题考查向量组等价（用秩判定）与线性表示。 判据：I 与 II 等价 $⟺r(\text{I})=r(\text{II})=r(\text{I},\text{II})$。对 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 化简，其行列式与 $a^2-1$ 同号零，故按 $a$ 分类。

当 $a\ne \pm 1$ 时，$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=3$，任意 $3$ 维向量都能由其唯一表示，两组必等价，解得 ${\beta }_3={\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3$。

当 $a=-1$：$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2$，但 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=3\ne 2$，两组不等价，舍去。

当 $a=1$：$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=r(\text{I},\text{II})=2$，等价. 解 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3={\beta }_3$ 得通解，${\beta }_3=(3-2k){\alpha }_1+(k-2){\alpha }_2+k{\alpha }_3$（$k$ 任意）。综上 $a\ne -1$。