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2019 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，

X

服从参数为

1

的指数分布，

Y

的概率分布为

P {Y = - 1} = p, P {Y = 1} = 1 - p (0 < p < 1)

. 令

Z = X Y

.
（Ⅰ）求

Z

的概率密度；
（Ⅱ）

p

为何值时，

X

与

Z

不相关；
（Ⅲ）

X

与

Z

是否相互独立？

提示 1

（Ⅰ）

Z = X Y

且

Y = \pm 1

，用全概率按

Y

取值拆分求

F_{Z} (z)

，再求导。

提示 2

（Ⅱ）

Cov (X, X Y) = D (X) E (Y)

，代入

D (X) = 1

、

E (Y) = 1 - 2 p

令其为

0

。

提示 3

（Ⅲ）找一点

(1, 1)

验证联合分布函数是否等于两边缘之积。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f_{Z} (z) = {p e^{z}, (1 - p) e^{- z}, z < 0 z \geq 0$ ；（Ⅱ） $p = \frac{1}{2}$ ；（Ⅲ） $X$ 与 $Z$ 不相互独立

思路（为什么这么做）

Z = X Y

（

Y

离散

\pm 1

）→ 全概率拆

F_{Z}

；不相关看

Cov = 0

；独立须对所有点成立，找一个反例点即可否定。坑：不相关

\neq =

独立——本题

p = \frac{1}{2}

不相关但仍不独立。

解答

本题考查随机变量函数的分布、协方差（不相关）与独立性。（Ⅰ）

X \sim E (1)

，

F (x) = 1 - e^{- x} (x \geq 0)

。按

Y

用全概率：

F_{Z} (z) = pP {- X \leq z} + (1 - p) P {X \leq z} = p [1 - F (- z)] + (1 - p) F (z)

。求导得

f_{Z} (z) = {p e^{z}, (1 - p) e^{- z}, z < 0 z \geq 0

。

（Ⅱ）

Cov (X, Z) = Cov (X, X Y) = E (X^{2} Y) - E (X) E (X Y) = E (X^{2}) E (Y) - [E (X)]^{2} E (Y) = D (X) E (Y)

。因

X \sim E (1)

有

E (X) = 1, D (X) = 1

，且

E (Y) = (- 1) p + (1 - p) = 1 - 2 p

。不相关

⟺ Cov (X, Z) = 1 - 2 p = 0

，即

p = \frac{1}{2}

。

（Ⅲ）取点

(1, 1)

：

F (1, 1) = P {X \leq 1, Z \leq 1} = P {X \leq 1} = 1 - e^{- 1}

（因

Z = X Y \leq X

），而

F_{X} (1) = 1 - e^{- 1}

，

F_{Z} (1) = p + (1 - p) (1 - e^{- 1})

。当

0 < p < 1

时

F (1, 1) \neq = F_{X} (1) F_{Z} (1)

，故

X

与

Z

不相互独立（即便

p = \frac{1}{2}

不相关也不独立）。

考点：协方差与相关系数、二维随机变量函数的分布、随机变量的独立性

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