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2019 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; σ^{2}) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}, 0, x \geq μ x < μ

，其中

μ

是已知参数，

σ > 0

是未知参数，

A

是常数.

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本.
（Ⅰ）求

A

；
（Ⅱ）求

σ^{2}

的最大似然估计量.

提示 1

（Ⅰ）用密度积分为

1

（归一性），换元

t = \frac{x - μ}{σ}

化成半个高斯积分

\int_{0}^{\infty} e^{- t^{2} /2} d t = \frac{2 π}{2}

。

提示 2

（Ⅱ）写似然

L (σ^{2})

，取对数后把

σ^{2}

当一个整体变量求导。

提示 3

令导数为零解出

\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{n} \sum (X_{i} - μ)^{2}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $A = \frac{2}{π}$ ；（Ⅱ） $\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}$

思路（为什么这么做）

MLE 标准流程：写

L

→ 取

ln

→ 对参数求导置零。含

σ^{2}

时把

σ^{2}

当整体变量求导更快。坑：（Ⅰ）积分下限是

μ

（半区间），换元后为

\int_{0}^{\infty}

，值

\frac{2 π}{2}

。

解答

本题考查用归一性定常数与最大似然估计。（Ⅰ）由

\int_{μ}^{+ \infty} \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} d x = 1

，令

t = \frac{x - μ}{σ}

，得

A \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2} /2} d t = A \cdot \frac{2 π}{2} = 1

，故

A = \frac{2}{π}

。

（Ⅱ）似然函数

L (σ^{2}) = \frac{A ^{n}}{( σ ^{2} ) ^{n /2}} e^{- \frac{1}{2 σ ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}

（

x_{i} \geq μ

）。取对数

ln L = n ln A - \frac{n}{2} ln σ^{2} - \frac{1}{2 σ ^{2}} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

。

令

\frac{d ln L}{d σ ^{2}} = - \frac{n}{2 σ ^{2}} + \frac{1}{2 σ ^{4}} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2} = 0

，解得

\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}

。

考点：最大似然估计、连续型随机变量及其概率密度、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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