2017 年考研数学（三） 第 6 题

特征值相同判相似 → 都与对角阵 $\mathbf{C}$ 比：可对角化则相似。看重根 $\lambda$ 的 $r(\lambda \mathbf{E}-\cdot )$，几何重数=代数重数才可对角化。坑：$r(2\mathbf{E}-\mathbf{B})=2$，几何重数只有 1，故 $\mathbf{B}$ 不可对角化。

本题考查相似判定：三个矩阵都是三角阵，对角线给出特征值均为 $2,2,1$。$\mathbf{C}$ 已是对角阵，故 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是否与 $\mathbf{C}$ 相似 $⟺$ 是否可对角化。

判可对角化看重特征值 $\lambda =2$（$2$ 重）的几何重数 $=3-r(2\mathbf{E}-\cdot )$。$2\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r=1$，几何重数 $=2=$ 代数重数，$\mathbf{A}$ 可对角化，$\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$。

$2\mathbf{E}-\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r=2$，几何重数 $=1<2$，$\mathbf{B}$ 不可对角化，故 $\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{C}$ 不相似。故选 B。