2017 年考研数学（三） 第 7 题

判 $A\cup B$ 与 $C$ 独立 → 展开 $P[(A\cup B)C]$ 用容斥并代入已知独立，与 $P(A\cup B)P(C)$ 对比，剩 $P(ABC)=P(AB)P(C)$。坑：结论是「$AB$ 与 $C$ 独立」，不是 $A,B$ 之间的关系。

本题考查事件独立的定义 $P(MC)=P(M)P(C)$ 与容斥。

$P[(A\cup B)C]=P(AC\cup BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC)$（用了 $A,C$ 独立、$B,C$ 独立）。

另一方面 $P(A\cup B)P(C)=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)$。

$A\cup B$ 与 $C$ 独立 $⟺$ 上两式相等 $⟺P(ABC)=P(AB)P(C)$，即 $AB$ 与 $C$ 相互独立。故选 C。