2017 年考研数学（三） 第 8 题

判是否服从 ${\chi }^2$ → 把统计量凑成「独立 $N(0,1)$ 的平方和」。差 $X_n-X_1$ 方差为 $2$，需除以 $\sqrt{2}$ 再平方。坑：B 的系数应为 $\frac{1}{2}$ 而非 $2$。

本题考查正态总体的抽样分布（此处 ${\sigma }^2=1$）：$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum (X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$，$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$。

A：$X_i-\mu \sim N(0,1)$ 独立，平方和 $\sim {\chi }^2(n)$，正确。C：${\sigma }^2=1$，$\sum (X_i-\overline{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$，正确。D：$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{1}{n})$，$\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )\sim N(0,1)$，$n(\overline{X}-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1)$，正确。

B：$X_n-X_1\sim N(0,2)$，故 $\frac{X_n-X_1}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$\frac{(X_n-X_1{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1)$。应为 $\frac{1}{2}(X_n-X_1{)}^2$，而非 $2(X_n-X_1{)}^2$，不正确。故选 B。