2017 年考研数学（三） 第 9 题

对称区间 $[-a,a]$ 的积分 → 先拆奇偶：奇部分 $=0$，偶部分 $=2{\int }_0^a$。见 $\sqrt{a^2-x^2}$ 直接用圆面积（四分之一圆 $=\frac{1}{4}\pi a^2$）。坑：别硬套三角换元，几何意义最快。

本题考查定积分的奇偶对称性 + 几何意义。

${\sin }^{3}x$ 是奇函数，在对称区间上 ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{3}x\mathrm{d}x=0$。

$\sqrt{{\pi }^2-x^2}$ 是偶函数，${\int }_{-\pi }^{\pi }\sqrt{{\pi }^2-x^2}\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\pi }\sqrt{{\pi }^2-x^2}\mathrm{d}x$；而 $y=\sqrt{{\pi }^2-x^2}(0\le x\le \pi )$ 是半径为 $\pi$ 的四分之一圆，面积为 $\frac{1}{4}\pi \cdot {\pi }^2=\frac{{\pi }^3}{4}$。故原式 $=2\cdot \frac{{\pi }^3}{4}=\frac{{\pi }^3}{2}$。