2017 年考研数学（三） 第 10 题

一阶常系数线性差分方程 → 齐次通解 $C\cdot 2^t$ 加特解。右端 $b^t$ 且 $b=$ 特征根时共振，特解要乘 $t$（设 $at\cdot 2^t$）。坑：不共振才设 $a\cdot 2^t$，共振必须带 $t$ 因子。

本题考查一阶常系数线性差分方程：通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解。

齐次方程 $y_{t+1}-2y_t=0$ 的通解为 $y_t=C\cdot 2^t$。

非齐次项 $2^t$ 与齐次解「共振」（底数 $2$ 恰为特征根），故设特解 $y_t^{\ast }=at\cdot 2^t$。代入：$a(t+1)2^{t+1}-2\cdot at\cdot 2^t=2a\cdot 2^t=2^t$，得 $a=\frac{1}{2}$。

故通解 $y_t=C\cdot 2^t+\frac{1}{2}t\cdot 2^t$。