2017 年考研数学（三） 第 11 题

已知平均成本求边际成本 → 先还原总成本 $C(Q)=Q\cdot \overline{C}(Q)$，再求导得 $C^{\prime }(Q)$。坑：边际成本是「总成本」的导数，不是平均成本的导数。

本题考查经济应用：边际成本 $=$ 总成本的导数 $C^{\prime }(Q)$，而总成本 $C(Q)=Q\cdot \overline{C}(Q)$。

由平均成本 $\overline{C}(Q)=\frac{C(Q)}{Q}=1+{\mathrm{e}}^{-Q}$ 得总成本 $C(Q)=Q(1+{\mathrm{e}}^{-Q})=Q+Q{\mathrm{e}}^{-Q}$。

边际成本 $C^{\prime }(Q)=1+{\mathrm{e}}^{-Q}+Q\cdot (-{\mathrm{e}}^{-Q})=1+(1-Q){\mathrm{e}}^{-Q}$。