2017 年考研数学（三） 第 12 题

已知全微分求 $f$ → 对 $P\mathrm{d}x$ 关于 $x$ 偏积分，再用 $Q=\partial f/\partial y$ 定出只含 $y$ 的待定项，最后用初值定常数。坑：先验证 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$（这里都等于 $(1+y){\mathrm{e}}^y$）确保是全微分。

本题考查由全微分反求原函数（凑全微分 / 偏积分）。

观察到 $y{\mathrm{e}}^y\mathrm{d}x+x(1+y){\mathrm{e}}^y\mathrm{d}y=\mathrm{d}(xy{\mathrm{e}}^y)$：因 $\frac{\partial }{\partial x}(xy{\mathrm{e}}^y)=y{\mathrm{e}}^y$，$\frac{\partial }{\partial y}(xy{\mathrm{e}}^y)=x{\mathrm{e}}^y+xy{\mathrm{e}}^y=x(1+y){\mathrm{e}}^y$，恰好吻合。

故 $f(x,y)=xy{\mathrm{e}}^y+C$，由 $f(0,0)=0$ 得 $C=0$，即 $f(x,y)=xy{\mathrm{e}}^y$。