2017 年考研数学（三） 第 13 题

求 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i$ 组成向量组的秩 → 写成 $\mathbf{AP}$，$\mathbf{P}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。$\mathbf{\alpha }$ 无关 $\Rightarrow \mathbf{P}$ 可逆 $\Rightarrow$ 秩 $=r(\mathbf{A})$。坑：右乘可逆阵秩不变，问题化为纯求 $r(\mathbf{A})$。

本题考查 $r(\mathbf{AB})$ 与「右乘可逆阵不改变秩」。

$(\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_3)=\mathbf{A}({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，$\mathbf{P}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 可逆，故 $r(\mathbf{AP})=r(\mathbf{A})$。

对 $\mathbf{A}$ 作行变换：$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(\mathbf{A})=2$。故所求向量组的秩为 $2$。