2017 年考研数学（三） 第 14 题

离散分布含未知概率求 $D(X)$ → 先用「$\sum p=1$」与给定的 $E(X)$ 列方程解概率，再套 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。坑：$E(X)=0$ 时 $D(X)=E(X^2)$ 直接就是平方的期望。

本题考查离散型随机变量的期望、方差与「概率和为 1」。

由归一化 $\frac{1}{2}+a+b=1$ 与 $E(X)=-2\cdot \frac{1}{2}+1\cdot a+3\cdot b=-1+a+3b=0$，联立解得 $a=b=\frac{1}{4}$。

$E(X^2)=(-2{)}^2\cdot \frac{1}{2}+1^2\cdot \frac{1}{4}+3^2\cdot \frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$。故 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{9}{2}-0=\frac{9}{2}$。