2017 年考研数学（三） 第 15 题

变限积分求极限、但 $x$ 出现在被积函数里 → 先换元把含 $x$ 的因子移出积分号，再对 $\frac{0}{0}$ 用洛必达（变上限求导）。坑：不换元直接对 ${\int }_0^x\sqrt{x-t}\cdots$ 求导会漏掉被积函数对 $x$ 的依赖。

本题考查变限积分求极限：被积函数含参数 $x$（在 $\sqrt{x-t}$ 里），须先换元把 $x$ 移出积分号，才能对变限积分用洛必达。

令 $u=x-t$（$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，$t:0\to x$ 对应 $u:x\to 0$）：${\int }_0^x\sqrt{x-t}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t={\int }_0^x\sqrt{u}{\mathrm{e}}^{x-u}\mathrm{d}u={\mathrm{e}}^x{\int }_0^x\sqrt{u}{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u$。

于是原极限 $=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^x\cdot \frac{{\int }_0^x\sqrt{u}{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u}{\sqrt{x^3}}$。后一项为 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达（分子变上限求导得 $\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$，分母 $(x^{3/2}{)}^{\prime }=\frac{3}{2}{x}^{1/2}$）：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}}{\frac{3}{2}\sqrt{x}}=\frac{2}{3}$。再乘 ${\mathrm{e}}^0=1$，得 $\frac{2}{3}$。