2017 年考研数学（三） 第 16 题

无界区域反常二重积分 → 化累次积分，无穷限那次最后做。内层利用 $y^2,y^4$ 结构令 $s=y^2$ 降次凑 $1/v^2$；外层 ${\int }_0^{\infty }\frac{1}{1+a{x}^2}=\frac{\pi }{2\sqrt{a}}$。坑：$\sqrt{2}$ 因子来自 $1+2x^2$ 换元 $\mathrm{d}(\sqrt{2}x)$。

本题考查无界区域上的反常二重积分（化累次积分，无穷限那次最后做），并用换元降次。区域 $D=\{(x,y):0\le x<+\infty ,0\le y\le \sqrt{x}\}$，即 $y\ge 0,x\ge y^2$。

先对 $y$ 积分。令 $s=y^2(\mathrm{d}s=2y\mathrm{d}y)$：${\int }_0^{\sqrt{x}}\frac{y^3}{(1+x^2+y^4{)}^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\int }_0^x\frac{s}{(1+x^2+s^2{)}^2}\mathrm{d}s$；再令 $v=1+x^2+s^2$，得 $=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+2x^2}\right)$。

再对 $x$ 在 $[0,+\infty )$ 积分：$\frac{1}{4}{\int }_0^{+\infty }\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+2x^2}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}{\left[\arctan x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}x)\right]}_0^{+\infty }=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{8}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。